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| 29.1 Introdução ao Pacote atensor | ||
| 29.2 Funções e Variáveis Definidas para o Pacote atensor | 
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atensor é um pacote de manipulção de tensores algébricos.  Para usar atensor,
digite load(atensor), seguido por uma chamada à função 
init_atensor.
A essência de atensor é um conjunto de regras de simplificação para o operador
de produto (ponto) não comutativo (".").  atensor reconhece
muitos tipos de álgebra; as regras de simplificação correspondentes são ativadas quando
a função init_atensor é chamada.
A compatibilidade de atensor pode ser demonstrada pela definição da
álgebra de quatérnios como uma álgera-Clifford Cl(0,2) com dois vetores
fundamentais.  As três unidades quaterniônicas imaginárias fundamentais são então os dois
vetores base  e seu produto, i.e.:
    i = v     j = v     k = v  .  v
         1         2         1    2
Embora o pacote atensor tenha uma definição interna para a
álgebra dos quatérnios, isso não foi usado nesse exemplo, no qual nós
nos esforçamos para construir a tabela de multiplicação dos quatérnios como uma matriz:
(%i1) load(atensor);
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
(%o2)                                done
(%i3) atensimp(v[1].v[1]);
(%o3)                                 - 1
(%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
(%o4)                                 - 1
(%i5) q:zeromatrix(4,4);
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%o5)                           [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%i6) q[1,1]:1;
(%o6)                                  1
(%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
(%o7)                                done
(%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
(%o8)                               v  .  v
                                     1    2
(%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
      q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
(%o9)                                done
(%i10) q;
                   [    1        v         v      v  .  v  ]
                   [              1         2      1    2 ]
                   [                                      ]
                   [   v         - 1     v  .  v    - v    ]
                   [    1                 1    2      2   ]
(%o10)             [                                      ]
                   [   v      - v  .  v     - 1      v     ]
                   [    2        1    2              1    ]
                   [                                      ]
                   [ v  .  v      v        - v       - 1   ]
                   [  1    2      2          1            ]
atensor reconhece como bases vetoriais símbolos indexados, onde o símbolo 
é aquele armazenado em asymbol e o iíndice está entre 1 e adim.
Para símbolos indexado, e somente para símbolos indexados, as formas bilineares
sf, af, e av são avaliadas.  A avaliação
substitui os valores  de aform[i,j] em lugar de fun(v[i],v[j])
onde v representa o valor de asymbol e fun é
ainda af ou sf; ou, isso substitui v[aform[i,j]]
em lugar de av(v[i],v[j]).
Desnecessário dizer, as funções sf, af e av
podem ser redefinidas.
Quando o pacote atensor é chamado, os seguintes sinalizadores são configurados:
dotscrules:true; dotdistrib:true; dotexptsimp:false;
Se você deseja experimentar com uma álgebra não associativa, você pode também
considerar a configuração de dotassoc para false.  Nesse caso, todavia,
atensimp não stará sempre habilitado a obter as simplificações
desejadas.
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Inicializa o pacote atensor com o tipo especificado de álgebra.  alg_type
pode ser um dos seguintes:
universal: A álgebra universal tendo regras não comutativas.
grassmann: A álgebra de Grassman é definida pela relação de 
comutação u.v+v.u=0.
clifford: A álgebra de Clifford é definida pela relação
de comutação u.v+v.u=-2*sf(u,v) onde sf é a função
valor-escalar simétrico.  Para essa álgebra, opt_dims pode ser acima de três 
inteiros não negativos, representando o número de dimensões positivas,
dimensões degeneradas, e dimensões negativas da álgebra, respectivamente.  Se
quaisquer valores opt_dims são fornecidos, atensor irá configurar os
valores de adim e aform apropriadamente.  Caso contrário,
adim irá por padrão para 0 e aform não será definida.
symmetric: A álgebra simétrica é definida pela relação de 
comutação u.v-v.u=0.
symplectic: A álgebra simplética é definida pela relação de 
comutação u.v-v.u=2*af(u,v) onde af é uma função valor-escalar 
antisimétrica.  Para a álgebra simplética, opt_dims pode
mais de dois inteiros não negativos, representando a dimensão não degenerada e
e a dimensão degenerada, respectivamente.  Se quaisquer valores opt_dims são
fornecidos, atensor irá configurar os valores de adim e aform
apropriadamente.  Caso contrário, adim irá por padrão para 0 e aform
não será definida.
lie_envelop: O invólucro da álgebra de Lie é definido pela 
relação de comutação u.v-v.u=2*av(u,v) onde av é
uma função antisimétrica.
A função init_atensor também reconhece muitos tipos pré-definidos de 
álgebra:
complex implementa a álgebra de números complexos como a
álgebra de Clifford Cl(0,1).  A chamada init_atensor(complex) é
equivalente a init_atensor(clifford,0,0,1).
quaternion implementa a álgebra de quatérnios.  A chamada
init_atensor(quaternion) é equivalente a 
init_atensor(clifford,0,0,2).
pauli implementa a álgebra de Pauli-spinors como a Clifford-álgebra
Cl(3,0).  Uma chamada a init_atensor(pauli) é equivalente a
init_atensor(clifford,3).
dirac implementa a álgebra de Dirac-spinors como a Clifford-álgebra
Cl(3,1).  Uma chamada a init_atensor(dirac) é equivalente a
init_atensor(clifford,3,0,1).
Simplifica a expressão algébrica de tensores expr conforme as regras
configuradas por uma chamada a init_atensor.  Simplificações incluem
aplicação recursiva de relações comutativas e resoluções de chamadas a
sf, af, e av onde for aplicável.  Uma
salvaguarda é usada para garantir que a função sempre termine, mesmo para
expressões complexas.
O tipo de álgebra.  Valores válidos sáo universal, grassmann,
clifford, symmetric, symplectic e lie_envelop.
Valor padrão: 0
A dimensionalidade da álgebra.  atensor usa o valor de adim
para determinar se um objeto indexado é uma base vetorial válida. Veja abasep.
Valor padrão para as formas bilineares sf, af, e
av.  O padrão é a matriz identidade ident(3).
Valor padrão: v
O símbolo para bases vetoriais.
É uma função escalar simétrica que é usada em relações comutativas.
A implementação padrão verifica se ambos os argumentos são bases vetoriais
usando abasep e se esse for o caso, substitui o valor 
correspondente da matriz aform.
É uma função escalar antisimétrica que é usada em relações comutativas.
A implementação padrão verifica se ambos os argumentos são bases vetoriais
usando abasep e se esse for o caso, substitui o
valor correspondente da matriz aform.
É uma função antisimétrica que é usada em relações comutativas.
A implementação padrão verifica se ambos os argumentos são bases vetoriais
usando abasep e se esse for o caso, substitui o
valor correspondente da matriz aform.
Por exemplo:
(%i1) load(atensor);
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) adim:3;
(%o2)                                  3
(%i3) aform:matrix([0,3,-2],[-3,0,1],[2,-1,0]);
                               [  0    3   - 2 ]
                               [               ]
(%o3)                          [ - 3   0    1  ]
                               [               ]
                               [  2   - 1   0  ]
(%i4) asymbol:x;
(%o4)                                  x
(%i5) av(x[1],x[2]);
(%o5)                                 x
                                       3
Verifica se esse argumento é uma base vetorial atensor .  E será, se ele for
um símbolo indexado, com o símbolo sendo o mesmo que o valor de
asymbol, e o índice tiver o mesmo valor numérico entre 1
e adim.
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